Найдите длину окружности если площадь вписанного в нее правильного шестиугольника равна 72 3 см2

Свойства вписанного в окружность многоугольника

Существует простая связь между длиной окружности и площадью вписанного в нее многоугольника. Рассмотрим правильный n-угольник (n - количество вершин) вписанный в окружность радиуса r.

Для начала найдем длину стороны многоугольника a. Для этого разобьем многоугольник на n равных треугольников. В каждом из этих треугольников высота h будет равна r, а основание b - это длина стороны многоугольника. Тогда мы можем применить теорему Пифагора: a² = (b/2)² + r² b = √(4r²-a²)

Теперь мы знаем длину стороны b. Чтобы найти длину окружности C, описанной вокруг многоугольника, нужно умножить длину стороны на количество сторон: C = nb

Теперь перейдем к площади многоугольника S. Разобьем его на n треугольников, проведя из центра многоугольника линии, соединяющие центр с вершинами многоугольника. Получится n треугольников радиусом r и высотой, равной стороне a. Эта высота также является радиусом вписанной в треугольник окружности. Тогда площадь каждого из этих треугольников будет равна: S₁ = (1/2) * a * r

Тогда общая площадь многоугольника S равна: S = nS₁ S = (1/2) * n * a * r

Теперь мы можем выразить длину окружности через площадь многоугольника: C = nb = n√(4r²-a²) = 2πr * (a/2r) = 2πr * (√(4r²-a²)/(2r)) = 2πr * (√(4r²-a²)/2r) = π(a² + 4r² - √((4r²-a²)²))/2

Таким образом, мы получили формулу, которая связывает длину окружности и площадь вписанного в нее правильного многоугольника.