Исследование пределов в математике: теория и практические примеры

Теория пределов это одна из областей математического анализа. Очень часто математические пределы (как и решение линейных уравнений или построение функций) вызывают большие сложности у обучающихся. Для правильного расчета предела необходимо знать и использовать большое количество способов решения. В итоге найти один подходящий именно в данном случае способ.

В данной статье мы постараемся дать основные понятия для решения пределов в математике. А также рассмотрим несколько наглядных примеров решения математических пределов.

Понятие предела в математике

Давайте разберёмся в понятии предела. Мы будем говорить о понятии предела функции, как о наиболее часто встречающемся. Итак, дадим следующее определение предела:

К примеру, существует отдельная переменная величина. Если данная величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу а, то а – предел этой величины.

Для конкретной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число А, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Формула данного определения может выглядеть так:

Lim (от англ. Limit) - предел.

Стремление х к определенному значению означает, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведём пример задачи: найти предел.

Попробуем подставить значение x=3 в функцию. Тогда:

Значение х, как мы выяснили, может стремиться к любому значению. Как к конкретному числу, так и к бесконечному множеству. Приведём пример, когда х стремится к бесконечности:

Таким образом определяем, чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Следовательно, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Получается, для решения любого предела, необходимо подставить в функцию значение, к которому будет стремиться х. Однако это самый лёгкий случай. Бывает, найти предел не так просто. Это такие случаи, когда могут встретиться неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность.

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Возьмём, к примеру, такой предел:

Если в данную функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность и в числителе, и в знаменателе. Нужно отметить, для правильного решения математического предела данного типа, необходимо найти способ преобразовать функцию так, чтобы неопределённость ушла. В данном конкретном примере следует разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени:

Из первого случая известно, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Следовательно, здесь получается:

Запомним, что для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Если решение всё же не идёт, сейчас у нас действует скидка 10% на любой вид работы!

Еще один вид неопределенностей: 0/0

В случае с пределами типа неопределенностей: 0/0 можно разложить числитель и знаменатель на множители. Покажем на простом примере:

Как правило, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Если обратить внимание, можно заметить, что в числителе здесь квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим следующее:

Таким образом, при встрече с пределом вида неопределенность 0/0 Вам просто следует разложить числитель и знаменатель на множители.

Для лучшей наглядности и простоты решения, даём Вам таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Существует другой не менее эффективный метод, который может избавить от неопределённостей обоих типов. Это известное правило Лопиталя.

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно данный метод представлен следующим образом:

Запомните: предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

Приведём пример:

Очевидно здесь типичная неопределенность 0/0. Берём производные от числителя и знаменателя:

Готово, мы избавились от неопределённости в данной функции.

Будем надеяться, что представленная в нашей статье информация и примеры окажутся полезными для Вас и хоть немного прояснят вопросы о решении математических пределов.

В случае, если необходимо вычислить предел последовательности или предел функции в точке, но у Вас не хватает на это времени, Вы всегда можете обратиться к профессионалам за быстрым и подробным решением.