Решение задач на примерах по теплоемкости идеального газа

В данной статье разберем, что же такое теплоемкость, ее влияние на процессы, проводимые в идеальном газе и для лучшего закрепления основной теории, в качестве примера, разберем задачи на данную тему.
И так, начнем с определений. Теплоемкость – показывает необходимое количество тепла, затрачиваемого для повышения температуры тела на один градус. Зависит она от массы вещества и условий, при которых системе сообщают теплоту.

Объяснения теплоемкости простыми словами и на примерах

Если системе сообщают теплоту (ΔQ), то ее температура изменяется на величину ΔT, тогда физическая величина (C), равная С=ΔQ/ΔT или С=∂Q/dT и называется теплоемкостью

Данное уравнение также может являться определением теплоемкости через интегральные параметры.

Удельная теплоёмкость ᴄ – это физическая величина, равная количеству теплоты, которое необходимо сообщить единицы массы этого вещества, чтобы нагреть его на один градус: Суд= ᴄ =∂Q/mdT

Молярная теплопроводность C – это физическая величина, равная количеству теплоты, которое необходимо сообщить одному молю вещества, чтобы нагреть его на один градус: Cмол=С=∂Q/(m/μ)dT)

Соотношение между молярной и удельной теплоёмкостью таково: С=μᴄ
Количество теплоты ΔQ , сообщённое газу с удельной теплоёмкостью c и массой m, находится по формуле: ΔQ=cmΔt

Δt – разность температур по шкале Цельсия,Δt=t2-t1.
С учётом того, что Δt=ΔT , где ΔT=T2-T1 , является разностью температур по шкале Кельвина, и формулы С=μᴄ можно записать формулу ΔQ=cmΔt иначе, а именно: dQ = (m/μ)CdT

Для нагревания одной и той же массы газа до одной и той же температуры требуется различное количество тепла в зависимости от того, нагревается ли газ при постоянном объёме или при постоянном давлении, т.е. теплоёмкости газов зависят от условий, при которых нагревается газ.

Задача №1 на расчет количества теплоты

Необходимо рассчитать количество теплоты, которое необходимо для нагрева 15 кг меди (Cu) на 80оС.

Дано:

• m=15 кг
• c=400 Дж / (кг⋅°C)
• Δt=80°C

Найти: Q—?

РЕШЕНИЕ:

Для того чтобы решить данную задачу, воспользуемся формулой для расчета количества теплоты, которое необходимо для нагревания тела: Q=cm(t2—t1).

У нас отсутствуют данные о первоначальной и конечной температуре тела (t2и t1). Но, известно изменение этой температуры: Δt=t2—t1 . В таком случае, формула для расчета количества теплоты: Q=cmΔt

Подставим значения всех величин и рассчитаем количество теплоты:
Q=400 Дж / (кг⋅°C) ⋅15 кг⋅80°C=480 000 Дж=480

Ответ: Q=480 кДж.

Задача №2. Определить удельную теплоемкость идеального газа

Условие

Определите молярную массу M двухатомного газа и его удельные теплоемкости. Известно, что разность cр - cv удельных теплоемкостей этого газа равна 260 Дж/(кг*К)

Решение

По определению:

Далее считаем удельные теплоемкости:

Ответ: 32 г/моль; 649 Дж/кг*К; 909 Дж/кг*К.

Задача №3. Удельная теплоемкость на расчет удельной теплоемкости

Условие

В калориметр было налито 450 г воды, температура которой 20°C. Когда в эту воду погрузили 200 г железных опилок, нагретых до 100°C, температура воды стала равна 24°C. Определите удельную теплоемкость опилок.

Записывая условия задачи, используем индекс “в” для обозначения величин, связанных с водой, и индекс “ж” для обозначения величин, связанных с железными опилками.

Решение

Дано:

• m воды = 450 г
• m железных опилок = 200 г
• t воды 1 = 20°C
• t воды 2 = 24°C
• c воды = 4200 Дж / (кг⋅°C)

СИ:

• m в = 0.45 кг
• m ж = 0.2 к
• t железных опилок 1 = 100°C

Найти: сжелезных опилок—?

Решение:

Формула для расчета количества теплоты, необходимого для нагревания тела и выделяемого при его охлаждении:

• Q=cm(t2—t1).

Запишем эту формулу для воды:

• Qв=cвmв(tв2—tв1).

Запишем формулу количества теплоты для железных опилок:

• Qж=cжmж(tж2—tж1).

Для того чтобы охолодить нагретые железные опилки, их необходимо поместить в воду. В связи с чем, температура воды начнет нагреваться, затем поглотит некоторое количество теплоты, соответственно, железные опилки охолодятся и смогут выделить некоторое количество теплоты. Т.е., выражаясь научно, будет происходить процесс теплообмена, для которого действует правило:

Если между телами происходит теплообмен, то внутренняя энергия всех нагревающихся тел увеличивается на столько, на сколько уменьшается внутренняя энергия остывающих тел.

Т.е. количество теплоты Qв , полученное водой, будет равно количеству теплоты Qж, которое выделится при охлаждении железных опилок, но с обратным знаком: Qв=—Qж .

Подставим выражения, которые дает формула для расчета количества теплоты:
cвmв(tв2—tв1)=—cжmж(tж2—tж1)

После завершения теплообмена температура воды и температура железных опилок будут равны друг другу: tв2=tж2=t2 .

Подставим в наше равенство и выразим cж :
cж=— свmв(t2—tв1) / mж(t2—tж1)

Рассчитаем удельную теплоемкость железных опилок:
cж=— 4200 Дж / (кг⋅°C) ⋅0.45 кг⋅(24°C—20°C) / 0.2 кг⋅(24°C—100°C) ) = — 7560 Дж / -15.2 кг⋅°C ≈497Джкг⋅°C ≈0.5 кДж / (кг⋅°C)

Ответ: cж ≈ 0.5 кДж / (кг⋅°C)

Задача №4. Молярная теплоемкость

Условие

Вычислить молярные теплоемкости газа, зная, что его молярная масса М = 4∙10 3 кг/моль и отношение удельных теплоемкостей ср/сv = 1,67.

Решение

Удельные теплоемкости равны:

Можно найти:

Ответ: 12,4 Дж/моль*К; 20,71 Дж/моль*К

Задача №5. Теплоемкость при изопроцессах

Условие

На рисунке изображен изотермический процесс с газом постоянной массы. Необходимо сравнить теплоемкость в процессе АВ с теплоемкостью этой же массы газа в изохорном процессе.

Решение

Теплоемкость при изохорном процессе является постоянной величиной. При изотермическом процесса она равна бесконечности. Значит, теплоемкость в процессе АВ больше.

Ответ: САВ > Cv.